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En el curso se estudian dos métodos numéricos aproximados: La Aproximación de Galerkin, y el Método de los Elementos Finitos. La utilidad práctica de estos métodos está ligada al uso de ordenador, para que sea factible incluir un gran número de funciones de aproximación, y conseguir un resultado preciso. En el poco tiempo que en la asignatura se les puede dedicar, el objetivo es que entiendas bien los rudimentos de los métodos aproximados, y, respecto del examen, que demuestres que ello es así resolviendo problemas bidimensionales sencillos de operar, pero que requieren de la aplicación de los conceptos. Siguiendo el orden del curso, comencemos por la Aproximación de Galerkin.
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La aplicación de la Aproximación de Galerkin, requiere en primer lugar elegir las funciones de aproximación para el campo de desplazamientos. Los puntos básicos a tener en cuenta son las condiciones de contorno en desplazamientos, las posibles simetrías, y otras características que se espere que la solución posea. Los siguientes problemas tratan sobre este particular. |
Problema tipo 01 Problema tipo 02
| Elegidas las funciones, el procedimiento a seguir es sistemático. En los problemas de examen el coeficiente de Poisson suele darse como nulo para facilitar las operaciones. También por esa razón, pero sobre todo porque es más parecido a lo que haría un ordenador, se suele indicar que se realicen las integrales mediante cuadratura de Gauss de un punto, siguiendo alguna pauta específica. Se suele incluir una o como mucho dos funciones por cada componente de desplazamiento, pero suelen ser distintas para ambas componentes para conseguir que la aproximación tenga un mínimo de realismo. En el problema siguiente puede verse reflejado todo ello. |
En cuanto al Método de los Elementos Finitos, hay un conjunto de ideas básicas que este primer estudio debe aportarte, y que se ilustran en los problemas siguientes. El objetivo es que cuando uses un programa comercial de análisis por Elementos Finitos, sepas exactamente qué está haciendo con los datos que le has suministrado. Usarlos como "cajas negras" es peligroso, e inaceptable para un profesional que ni siquiera debiera tener dificultades de concepto en desarrollar él mismo su propio programa.
En un examen no es posible resolver a mano un problema realista. Para eso hay que usar ordenadores. En los exámenes, se pregunta de tres maneras acerca de método : a) como teoría o cuestión de corte teórico, b) mediante un problema muy sencillo que se pide resolver totalmente, c) mediante un problema más realista del que solamente se pide calcular algún detalle.
| Una primer paso es conocer la estructura de la matriz de rigidez. Cuál será su tamaño, qué términos serán nulos, etc. El siguiente problema ilustra este punto. |
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Otra habilidad básica en relación con la matriz de rigidez, es saber identificar qué submatrices NO intervendrán en el análisis, aun no siendo nulas. Esto nos puede ahorrar el trabajo de calcular los términos innecesarios. La consideración de las simetrías que posea el problema puede reducir también muy significativamente el trabajo. El siguiente es un ejemplo de todo ello. |
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El cálculo del término de cargas f, es una de las tareas que debe realizarse antes de poder calcular los desplazamientos. Normalmente habrá algunos términos de f que contengan incógnitas, y otros que puedan determinarse por completo antes del análisis. En varias ocasiones se ha pedido en un examen el calcular algunos términos de f de un problema de muchos elementos, como el siguiente. |
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Para finalizar esta selección de detalles de interés relativos al Método de los Elementos Finitos, haremos referencia a un asunto que no tiene mayor importancia conceptual, pero que a algunos alumnos os hace perder un tiempo innecesario al en los exámenes. Se trata del cálculo de las funciones de forma para elementos triangulares. En el curso se expone un procedimiento general para obtenerlas, pero las geometrías sencillas de los problemas de examen suelen permitir averiguar las funciones de forma por simple inspección. Con el problema siguiente puedes ejercitar esta habilidad. |