En este caso, el concepto de "condición de contorno en forma débil" se traduce en que nos es indiferente la distribución concreta de tensiones que exista en cada extremo de la barra, con tal que sea estáticamente equivalente a un momento M. Debemos aprovechar esta libertad al tratar de encontrar una solución al problema.
Así, apreciamos que una distribución lineal en x2 de tensiones s11 tiene resultante nula y momento M, y cae dentro de los casos sencillos en los que la solución es bien conocida:
La distribución de tensiones en el contorno tendrá la forma s11= Ax2, y debe ser equivalente al momento M. Por tanto, tomando momentos respecto del punto medio de la sección,
Para comprender los signos en la ecuación anterior puede usarse el siguiente razonamiento: se considera en la sección extrema un punto de x2 positivo, y una tensión s11 positiva, independientemente del problema. El momento que produce la fuerza diferencial correspondiente respecto del punto de reducción (el de x2=0 en este caso), sería contrario al M del enunciado, luego entre ambos hay un cambio de signo. De ahí el signo menos en la integral.
De la ecuación anterior se obtiene A, y por tanto s11 en las secciones extremas del contorno:
Cabe insistir en que lo que se ha hecho hasta ahora no es más que sustituir el momento que fue dado en forma débil, M, por una distribución concreta de tensiones en el contorno. No se ha calculado nada en el interior del sólido.
Como las tensiones en el contorno evolucionan linealmente, pensamos en un polinomio de Airy de tercer grado, cuyas derivadas segundas serán lineales. En efecto, se trata de tensiones proporcionadas por uno de los términos bien conocidos de tercer grado:
f = C x23 => s11= f,22 = 6C x2 ; s22= f,11 = 0 ; s12= -f,12 = 0
No es necesario comprobar que f será biarmónica, ya que se trata de un polinomio de grado menor que 4. Por lo tanto, la anterior es la solución de tensiones del problema (en el dominio y en el contorno), a falta solamente de imponer las condiciones de contorno en las secciones extremas. De la identificación de la solución anterior particularizada por ejemplo en la sección en x1=L (en este caso no hay que hacer nada para particularizar, porque las tensiones no dependen de x1, pero en un caso más general pueden depender), con las condiciones de contorno en la misma sección, se obtiene:
Que es la solución de tensiones pedida.
Nota: La sencillez de este problema no debe crear confusión acerca de lo que son condiciones de contorno y de lo que son tensiones en el interior del sólido. En este caso tienen la misma forma, pero no tiene porqué ser así. De hecho, se recordará que en la sección anterior se analizó un problema similar con carga de contorno parabólica en lugar de lineal, y las tensiones no resultaron ser parabólicas en el interior. El hecho de que las tensiones deriven de una función de Airy es lo que garantiza la validez de la solución dentro del dominio (también lo garantizaría el haber comprobado directamente la solución, pensando en ella como solución de prueba).
