Esta vez comenzaremos por comprobar que se satisfacen las ecuaciones de integrabilidad, lo que parece buena idea para evitar trabajar inútilmente como ocurrió en el problema anterior.
e11,22 + e22,11 = 2 e12,12 => 0 + 2B = 2B
Se satisfacen, luego hay garantías de que existe un campo de desplazamientos asociado a esas deformaciones. Podrá ser más o menos difícil calcularlo, pero en nuestro ánimo debe estar que ya sea de una manera o de otra (incluyendo integración numérica aproximada si no hay más remedio), seremos capaces de obtener los desplazamientos.
En este caso la integración no resulta complicada. Consideramos primero e11 = u1,1 = 0. Integrando tenemos:
u1 = f(x2)
Consideramos ahora e22 = u2,2 = Bx12 . Integrando:
u2 = B x12 x2 + g(x1)
Siendo f(x2) y g(x1) dos funciones arbitrarias. Ahora consideramos el valor de e12, e igualamos el calculado a partir de las expresiones anteriores de u1 y u2, con el que nos da el enunciado:
2e12 = u2,1 + u1,2 = f'(x2) + 2 Bx1x2 + g'(x1) = (del enunciado) = 2 Bx1x2
Las primas en g' y f' indican derivación respecto de la única variable de que dependen cada una de las funciones. Identificando términos semejantes en la ecuación anterior, resulta:
2 Bx1x2 = 2 Bx1x2
f'(x2) + g'(x1) = 0
La primera de estas dos ecuaciones es una identidad. La segunda solamente se satisface si las dos derivadas no dependen en realidad de las variables indicadas, sino que sólo constan del término constante, que ha de ser de valor opuesto en cada una, digamos K y -K:
f'(x2) = K ; g(x1) = -K =>
f(x2) = Kx2 + C ; g(x1) = -Kx1 + D
Por lo tanto, la expresión más determinada que podemos ofrecer para los desplazamientos con los datos del problema, es:
u1 = Kx2 + C
u2 = Bx12x2 - Kx1 + D
Nótese que siendo B un dato del problema, quedan tres constantes indeterminadas en la solución: C, D y K. Coinciden en número con los tres grados de libertad que tiene un sólido rígido en el plano. Si nos fuesen dadas unas condiciones de contorno en desplazamientos que impidiesen el movimiento del sólido como sólido rígido, seríamos capaces de determinar también estas tres constantes.
Los pasos seguidos en este problema son, en general, los aconsejables para proceder a la integración de los desplazamientos a partir de las deformaciones, cuando la integración se realiza analíticamente. En problemas tridimensionales los pasos son semejantes, siendo la complicación fundamental la existencia de tres deformaciones transversales en vez de una.