Consideramos primero e11 = u1,1 = 0. Integrando tenemos:
u1 = f(x2)
Análogamente, consideramos ahora e22 = u2,2 = Bx12 . Integrando:
u2 = B x12 x2 + g(x1)
Siendo f(x2) y g(x1) dos funciones arbitrarias de las variables indicadas. Estas funciones pueden contener también una constante. Ahora consideramos el valor de e12, e igualamos el calculado a partir de las expresiones anteriores de u1 y u2, con el que nos da el enunciado:
2e12 = u2,1 + u1,2 = f'(x2) + 2 Bx1x2 + g'(x1) = (del enunciado) = 4 Bx1x2
Las primas en g' y f' indican derivación respecto de la única variable de que dependen cada una de las funciones. Identificando términos semejantes en la ecuación anterior, resulta que la misma no puede satisfacerse para ninguna expresión que pudieran tener f'(x2) y g'(x1), ya que tendría que ser:
2 Bx1x2 = 4 Bx1x2
f'(x2) + g'(x1) = 0
La última de estas dos ecuaciones se podría satisfacer si las dos derivadas fuesen constantes y de valores opuestos, digamos K y -K. Pero la primera no puede satisfacerse de ninguna manera. Por lo tanto el problema no tiene solución.
Lo que ocurre en realidad es que el enunciado está mal planteado, ya que los términos del tensor de deformaciones propuesto no cumplen las ecuaciones de integrabilidad. Véase:
e11,22 + e22,11 = 2 e12,12 => 0 + 2B = 2.2 B
Que evidentemente no se satisface, y por lo tanto no puede existir un campo de desplazamientos admisible asociado a esas deformaciones. Dicho de otra forma, ese campo de deformaciones no podría existir en la práctica. El siguiente problema contiene un enunciado análogo, pero con un tensor que sí satisface las ecuaciones de integrabilidad. Se apreciará que en esas condiciones sí es posible completar el proceso de integración para calcular ui.