Para calcular los valores principales de tensión, planteamos la ecuación característica: det (sij - sdij) = 0. En forma matricial, las componentes del tensor y la ecuación característica son:
Desarrollando el determinante por la segunda fila, tenemos:
(1-s) { (1-s)(-2-s) -1 } = 0
Que tiene una claramente una solución en s=1. Era visible ya en la figura del enunciado que x2 es una dirección principal, y por tanto su valor de tensión debía ser una tensión principal. Las otras dos soluciones se obtienen de (1-s)(-2-s) -1 = 0. Desarrollando y planteando la ecuación de segundo grado, las raíces resultan ser s=1.3028 y s=-2.3028. Si las ordenamos de mayor a menor (para facilitar el trabajo de la última pregunta del enunciado)
sI=1.3028 ; sII=1 ; sIII=-2.3028
La dirección principal niI correspondiente a la primera tensión principal sI, se obtienen de (sij - sIdij)nj = 0, con la imposición adicional de que nini = 1 (módulo unidad). Es decir:
(1-sI) n1I + 0 n2I - 1 n3I = 0
0 n1I + (1-sI) n2I + 0 n3I = 0
-1 n1I + 0 n2I + (-2- sI) n3I = 0
De la segunda ecuación se obtiene que n2I = 0. Sabíamos efectivamente que las otras dos direcciones principales, tanto I como III, deben ser perpendiculares a la dirección II, que coincide con x2.
Esperamos que las otras dos ecuaciones, primera y tercera, sean linealmente dependientes. Puede comprobarse que efectivamente es así. Por tanto, tenemos que usar cualquiera de esas dos ecuaciones y, como esperábamos, la condición de que el módulo de nI sea la unidad:
(n1I)2 +(n2I)2 +(n3I)2 + = 1
Operando se llega a: (n1I)2 = 0.9160 => n1I = +/- 0.9571
Que llevado por ejemplo a la primera de la terna => n3I = -/+ 0.2898
Nótese que el orden en la alternancia de signos (+/- o -/+) es relevante. Como se aprecia en la primera figura siguiente, da lugar a dos soluciones distintas para nI, opuestas entre sí. Esto es normal, ya que representan el mismo plano de corte, pero considerando que nos quedamos con el sólido a uno u otro lado del corte, en ambos casos con tensión tangencial nula, y por tanto principales.
En realidad ya no hay necesidad de calcular la tercera dirección principal, ya que sabemos que será perpendicular a las otras dos. La segunda figura muestra una de las varias posibilidades que hay de construir un sistema de ejes principales que formen triedro directo y cuya numeración coincida con el orden de las tensiones ejes principales.
Las direcciones de los nuevos ejes x1', x2', x3', serían las dadas por los vectores nI, nII, nIII, respectivamente. El tensor expresado en esos nuevos ejes sería evidentemente diagonal, y sus componentes no nulas serían los valores principales de tensión:
s1'1' = sI = 1.3028 ; s2'2' = sII =1 ; s3'3' = sIII=-2.3028;
